Trigonometria: cos'è e come si usano seno, coseno e tangente

Cos’è la trigonometria

La trigonometria è la parte della matematica che studia la relazione tra gli angoli di un triangolo e la lunghezza dei suoi lati. Il nome viene dal greco, “trigonon” (triangolo) e “metron” (misura): letteralmente, la misura dei triangoli. Secondo Encyclopaedia Britannica, la disciplina nasce nel mondo ellenistico nel III secolo a.C., quando i primi geometri applicano gli strumenti della geometria a problemi di astronomia. In algebra si lavora con lettere al posto dei numeri; qui una lettera greca come θ (theta) indica un angolo, e le formule che lo legano ai lati funzionano allo stesso modo per qualunque triangolo rettangolo, piccolo o enorme.

Fino al XVI secolo, sempre secondo Britannica, il problema centrale della trigonometria era uno solo: dati alcuni elementi di un triangolo, calcolare tutti gli altri. È lo stesso obiettivo pratico che guida ancora oggi chi misura un terreno, traccia una rotta o osserva una stella.

Seno, coseno e tangente: le formule di base (SOHCAHTOA)

Nel triangolo rettangolo, ogni angolo acuto θ ha tre lati di riferimento: l’ipotenusa (il lato più lungo, opposto all’angolo retto), il cateto opposto a θ e il cateto adiacente a θ. Da questi tre lati nascono i tre rapporti di base, confermati in modo identico da Wolfram MathWorld e dal manuale universitario OpenStax:

Rapporto	Definizione	Mnemonico
Seno (sin θ)	cateto opposto ÷ ipotenusa	SOH
Coseno (cos θ)	cateto adiacente ÷ ipotenusa	CAH
Tangente (tan θ)	cateto opposto ÷ cateto adiacente	TOA

Le iniziali delle tre righe compongono SOHCAHTOA, il mnemonico con cui generazioni di studenti hanno imparato le tre definizioni. Non servono altri numeri per cominciare: bastano questi tre rapporti e un angolo.

Dal teorema di Pitagora alle identità fondamentali

Le tre definizioni non sono indipendenti tra loro. Se si disegna un triangolo rettangolo con l’ipotenusa lunga esattamente 1, il teorema di Pitagora dice che la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Poiché in quel triangolo il cateto opposto misura sin θ e quello adiacente misura cos θ, la stessa uguaglianza si scrive così:

sin²θ + cos²θ = 1

È l’identità pitagorica, la relazione fondamentale della trigonometria. Da qui si ricavano altre due identità: tan²θ + 1 = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ, dove sec, csc e cot sono i reciproci di coseno, seno e tangente. Chi ha già visto la geometria euclidea riconosce qui lo stesso teorema di Pitagora, applicato in una veste diversa.

I valori notevoli: 30°, 45°, 60°

Alcuni angoli ricorrono così spesso da avere un valore esatto, ricavabile senza calcolatrice. Il manuale OpenStax li deriva da due triangoli speciali: il 45-45-90, isoscele, e il 30-60-90, che si ottiene tagliando a metà un triangolo equilatero.

Angolo	sin	cos	tan
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

Sono proprietà geometriche fisse, non dati che possano cambiare nel tempo: si possono sempre ridisegnare i due triangoli e ricontrollarli riga per riga.

Esempio pratico: una persona si allontana dalla base di un albero fino a un punto a 30 piedi, circa 9,1 metri, e da lì misura con un goniometro un angolo di 57° verso la cima. L’altezza dell’albero è allora h = 30 × tan(57°), circa 46 piedi, poco più di 14 metri: la tangente trasforma una distanza misurabile da terra in un’altezza che nessuno ha bisogno di scalare per conoscere. L’esempio, con questi stessi numeri, viene dal manuale OpenStax “Precalculus 2e”.

La trigonometria oltre il triangolo: la parallasse delle stelle

Lo stesso principio funziona su scala cosmica. Per misurare la distanza di una stella vicina, gli astronomi la osservano due volte a sei mesi di distanza, dai due lati opposti dell’orbita terrestre: la base di questo triangolo enorme è il diametro dell’orbita, circa 2 unità astronomiche. La stella sembra spostarsi di un piccolo angolo rispetto allo sfondo di stelle molto più lontane, la parallasse stellare, e da quell’angolo, con la tangente, si ricava la distanza: d = 1 UA / tan(p), secondo Encyclopaedia Britannica.

Quando l’angolo di parallasse misura esattamente un secondo d’arco, la distanza corrispondente è 206.265 unità astronomiche. Quella distanza ha un nome proprio, il parsec, ed è l’unità che gli astronomi usano ancora per le stelle della nostra galassia.

Navigazione, rilevamento e un equivoco frequente: il GPS

Per secoli la trigonometria ha guidato chi doveva orientarsi senza punti di riferimento fissi: la triangolazione, cioè misurare angoli da due punti noti per calcolare la posizione di un terzo, è alla base della cartografia e della navigazione marittima e aerea, oltre che del rilevamento del terreno. È lo stesso principio che serve per risolvere le equazioni di un triangolo quando si conoscono solo alcuni suoi elementi.

Il GPS, però, non funziona così. Secondo GPS.gov, il sito ufficiale del governo statunitense per il sistema, ogni ricevitore misura il tempo che il segnale radio impiega ad arrivare da almeno tre satelliti, un segnale che viaggia alla velocità della luce, 299.792.458 metri al secondo, e da quel tempo ricava una distanza (Distanza = Velocità × Tempo). Con le distanze da tre satelliti si individua un punto nello spazio: è la trilaterazione, non la triangolazione, perché il calcolo parte da distanze e non da angoli. La stessa distinzione vale per le orbite e le misure nel sistema solare.